Penman-Monteith egyenlet levezetése

Hát ez mi tagadás bonyolultabb, mint amilyen a „termikus szél nemlétezése barotróp légkör esetén” bizonyítása volt. De hát nem mindenki akar Advanced tag lenni,ugyebár:).Szóval kezdjünk neki:

A fent nevezett egyenlet a párolgásra állapít meg egy összefüggést, amelyet az agrometeorlógiában elég gyakran emlegetnek. Az egyenletnek több levezetése is ismert, mi most a fluxus gradiensének segítségével próbáljuk elővarázsolni az összefüggést a párolgásra. Magyarán és közérthetően, az egyenlet arra ad választ, hogy mennyi víz párolog el a növényzettel benőtt felszínről.

Pár fogalom: adiabatikusnak nevezzük azokat a folyamatokat, amelyek esetében a vizsgált levegőrész a környezetéből nem vesz fel hőt és nem is ad le. A nem adiabatikus esetben van hőcsere a levegő rész és a környezete között. A nedves hőmérséklet, az a legalacsonyabb hőmérséklet, amelyre a levegő lehűl adott nyomáson víz elpárologtatása során. Az e jelöli a gőznyomást (páranyomást) ami a vízgőz adott térfogatrészben lévő nyomását jelenti, es pedig a telítési gőznyomást.

A nedves felszínről elpárolgó nedvesség mennyiségét a szenzibilis illetve látens hőáram segítségével tudjuk kiszámolni. A szenzibilis hőáram egyenes arányban függeni fog a talaj(T0) és a levegő(T) közötti hőmérséklet különbségtől illetve fordított arányban a szenzibilis hőszállítási együtthatótól(rH). A hőáramot – azaz a fluxust – a következő formulával lehet meghatározni:

H = - \frac{ϱ \cdot C_{p}}{r_{H}} \cdot (T - T_{0})

A negatív előjel annyit jelent, hogy az érték a talajtól távolodva nő. A látens hőáram ugyancsak függeni fog a talaj hőmérsékletétől, a szenzibilis hőszállítási együtthatótól és a gőznyomástól.

λ \cdot E = \frac{ϱ \cdot C_{p}}{γ^{*} r_{H}} \cdot [e_{S} \cdot T_{0} - e]

Lambda a párolgási látens hőmennyiség,amelyet konstansnak szoktak venni, a *-os változó pedig a csillagnélküli változó (azaz a gamma, amit psychrometrikus állandónak neveznek) megszorozva a pára szállítási együttható és a szenzibilis hőáram együttható arányával:

γ^{*} = γ \cdot (\frac{r_{v}}{r_{H}})

Valahogy ki kellene fejteni az egyenletben található gőznyomást, de sajnos a talaj hőmérsékletét nem ismerjük. Ezt azonban ki tudjuk számolni a psychrometrikus közelítés segítségével, azaz feltételeznünk kell hogy a talajhőmérséklet egyenlő a nedves hőmérséklettel (T0 = Tn, ahol Tn a nedves hőmérséklet, de ezt a közelítést nem használhatjuk nagyon száraz levegő esetén).Ebben az esetben, ha felhasználjuk a telítési páranyomásra kiszámítására vonatkozó

Δ \approx \frac{e_{S} \cdot T - e_{S} \cdot T_{n}}{T - T_{n}}

egyenletet (ahol delta a telítési gőznyomás
görbéjének meredekségét jelenti) és a psychrometrikus közelítéssel kapott T0 = Tn egyenlőséget behelyettesítjük, akkor a következő formulához jutunk:

e_{S} \cdot T_{0} \approx e_{S} \cdot T - Δ \cdot (T - T_{0})

Ezt most visszahelyettesítjük a látens hőáram képletébe:

λ \cdot E = (\frac{ϱ \cdot C_{p}}{γ^{*} \cdot r_{H}}) \cdot [e_{S} \cdot T - Δ \cdot (T - T_{0}) - e]

Azonban milyen kellemes meglepetés, hogy az egyenletben szereplő levegőhőmérséklet és talajhőmérséklet különbsége a szenzibilis hőáram függvénye. Felhasználva a szenzibilis hőáram egyenletét a mostani összefüggés így írható:

λ \cdot E = (\frac{ϱ \cdot C_{p}}{γ^{*} \cdot r_{H}}) \cdot [e_{S} \cdot T - Δ \cdot (\frac{- H \cdot r_{H}}{ϱ \cdot C_{p}}) - e]

Ezt átrendezve:

λ \cdot E = (\frac{ϱ \cdot C_{p}}{γ^{*} \cdot r_{H}}) \cdot [e_{S} \cdot T - e] + \frac{Δ}{γ^{*}} \cdot H

Itt most megint egy feltételezéssel kell élnünk: feltesszük, hogy nem-adiabatikus rendszert vizsgálunk. Ebben az esetben a külső energia fluxus – azaz a nettó sugárzás – a szenzibilis és a látens hőáram összegével lesz egyenlő,azaz a szenzibilis hőáram így írható:

H = Q_{n} - λ \cdot E

Ezt felhasználva :

λ \cdot E = (\frac{ϱ \cdot C_{p}}{γ^{*} \cdot r_{H}}) \cdot [e_{S} \cdot T - e] + \frac{Δ}{γ^{*}} \cdot (Q_{n} - λ \cdot E)

egyenletet kapjuk. Átrendezés után a következő összefüggéssel állunk szemben:

λ \cdot E = (\frac{ϱ \cdot C_{p}}{γ^{*} \cdot r_{H}}) \cdot [e_{S} \cdot T - e] + \frac{Δ}{γ^{*}} \cdot Q_{n} - \frac{Δ}{γ^{*}} \cdot λ \cdot E)

Egy kis matematikai ügyeskedés és tulajdonképpen meg is kaptuk a kívánt egyenletet:

λ \cdot E = \frac{Δ \cdot Q_{n} + ϱ \cdot C_{p} \cdot [e_{S} \cdot T - e] \cdot r_{H}^{- 1}}{Δ + γ^{*}}

Milyen szép, mi? Ez a Penman-Monteith egyenlet egyik alakja. Kaptunk egy összefüggést, amely a levegő hőmérsékletének,és a hőfluxusnak segítségével adja meg, hogy a nedves felszínről mekkora a párolgás. Már csak egy kérdés maradt: hogy lesz az egyenlet bal oldalán található látens hőáramból vízmennyiség? Ezt a következő ekvivalencia adja meg: 1 W/m2 = 0.0352 mm/d.

Let’s start a project together